Tiempo mínimo de dedicación recomendado: Transformaciones espaciales no lineales
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Índice
Introducción
Hay transformaciones que no cumplen las condiciones de linealidad que especificábamos
en el módulo «Transformaciones espaciales lineales» y que por lo tanto, no pueden
aplicarse a la imagen mediante una máscara de convolución; se trata de operaciones
no lineales como la mediana o todas aquellas derivadas de una disciplina que recibe
el nombre de morfología matemática.
Las transformaciones puntuales y espaciales lineales que hemos visto anteriormente
las hemos aplicado, no exclusivamente pero sí en gran parte, a la mejora de imágenes:
reducción de ruido, mejora de contraste, realce de contornos, etc. Las transformaciones
que estudiaremos en este módulo se utilizan principalmente para analizar las imágenes:
aislar objetos, simplificar formas, detectar contornos (una aplicación que habíamos
visto también en las transformaciones espaciales lineales), etc. Estas transformaciones
se utilizan a menudo en aplicaciones industriales o médicas, por ejemplo.
En el primer apartado definiremos el filtro de mediana y veremos su aplicación como
transformación reductora de ruido impulsional, un tipo de ruido que, tal como veíamos
en el módulo «Transformaciones espaciales lineales», no responde bien a los filtros
lineales.
El segundo apartado, que ocupa el resto del módulo, lo dedicaremos a la morfología.
En primer lugar veremos similitudes y diferencias entre la forma de cálculo de las
transformaciones morfológicas y lineales espaciales, para definir a continuación las
dos operaciones básicas, la erosión y la dilatación. Una vez vistas estas operaciones
y sus características, definiremos dos filtros que se construyen a partir de las operaciones
básicas, la apertura y el cierre.
Finalmente, retomaremos el estudio de la enfatización de contornos, que habíamos visto
en el módulo «Transformaciones espaciales lineales», y mostraremos cómo esta operación
también se puede realizar a partir de operaciones morfológicas.
Los ejemplos que ilustran la unidad están hechos, como en las anteriores, con la aplicación
Photoshop, con las imágenes de dominio público que se detallan al final de la unidad;
se recomienda reproducir los ejemplos a medida que se estudia.
Objetivos
Los objetivos principales de este módulo son:
-
Introducir el concepto de transformación no espacial.
-
Presentar el filtro de mediana como herramienta para reducir el ruido.
-
Introducir el concepto de operación morfológica.
-
Introducir el concepto de erosión y dilatación y sus aplicaciones.
-
Presentar otras operaciones morfológicas a partir de la erosión y la dilatación y sus aplicaciones.
-
Relacionar, mediante experimentos dirigidos, los conceptos introducidos con la transformación de imágenes.
Estos objetivos están relacionados con las siguientes competencias de la asignatura:
A. Capacidad de modificar una imagen digital en base a unos requisitos previos.
C. Capacidad de discriminar las opciones factibles de las que no lo son en un estudio
de especificaciones de un proyecto, sistema o tarea.
D. Capacidad de visualizar e imprimir imágenes de forma eficaz y eficiente.
Y con las siguientes competencias generales del grado:
11. Capacidad de capturar, almacenar y modificar información de audio, imagen y vídeo
digitales aplicando principios y métodos de realización y composición del lenguaje
audiovisual.
22. Capacidad de utilizar los fundamentos matemáticos, estadísticos y físicos para comprender
los sistemas TIC.
1.Mediana
Empezamos la descripción de las transformaciones espaciales no lineales por el filtro
de mediana, una aplicación muy útil para reducir el ruido impulsional, que, recordémoslo,
no responde bien a las transformaciones de suavización. Dada una muestra formada por
un conjunto de valores que podemos ordenar, la mediana es el valor central; es decir,
aquél que tiene tantos valores por debajo como por encima.
Si aplicamos el operador mediana a la imagen A, cada píxel de la imagen B transformada se obtiene sustituyendo el píxel correspondiente de la imagen A por la mediana de la ventana de trabajo asociada.
Por ejemplo, dado un píxel con valor de gris 128 y sus vecinos, como se muestra en
la figura 1, el píxel correspondiente de la imagen transformada tiene nivel de gris
126, ya que cuando ordenamos de menor a mayor los píxeles, queda en la posición central.
123, 124, 124, 125, 126, 128, 128, 128, 130
Figura 1
Con este ejemplo vemos que con una ventana los píxeles de la cual tienen valores de
intensidad similares, la mediana no introduce diferencias significativas pero si el
píxel central tiene una intensidad muy diferente, este valor se pierde, como vemos
en el ejemplo siguiente:
|
123 |
128 |
124 |
|
125 |
0 |
130 |
|
124 |
128 |
126 |
Los píxeles ordenados por nivel de gris son:
0, 123, 124, 124, 125, 126, 128, 128, 130
ya que la mediana es 125; los valores extremos no estarán nunca en el medio de la
serie ordenada, siempre estarán al principio o al final y de esta manera, quedarán
eliminados de la imagen.
Claramente, el filtro de mediana está indicado para reducir el ruido impulsional,
píxeles aislados que toman valores extremos; la figura 2 nos muestra un ejemplo de
ello tomando una ventana de trabajo de 3 × 3, que consigue una reducción importante.
Figura 2. Ruido impulsional reducido con un filtro de mediana
1.1.Ejercicios con filtro de mediana
Ejercicio 1
La imagen einstein.pgm es una imagen sin ruido. En este ejercicio le añadiremos ruido impulsional y le aplicaremos
posteriormente un filtro de mediana para reducirlo; de esta manera podremos comparar
la imagen una vez limpiada del ruido con la imagen ruidosa y con la imagen original.
Para añadir ruido a la imagen original, utilizaremos la herramienta de Photoshop Filter/FilterGallery/Texture/Grain (o Filtro/Galería de filtros/Textura/Granulado en la versión del programa en castellano) y escogemos una intensidad del 10%, contraste
del 50% y en el campo Grain Type (Tipo de granulado) seleccionar el tipo Sprinckles (Rociado). Una vez ensuciada la imagen con ruido, aplicamos el filtro de mediana
Filter/Noise/Median (Filtro/Ruido/Mediana) con una ventana de trabajo de 3 × 3 (es decir, radio = 1).
Comentad el efecto del filtro de mediana sobre la imagen ruidosa y comparad la imagen
filtrada con la original.
Solución
El filtro de mediana no puede eliminar completamente el ruido impulsional que hemos
añadido a la imagen original, ya que una vez filtrada la imagen todavía se pueden
observar puntos blancos. Además, el filtro de mediana ha suavizado la imagen.
Ejercicio 2
Repetid el ejercicio anterior, pero esta vez añadiendo ruido impulsional de intensidad
5%.
Solución
En este caso, cuando aplicamos el filtro de mediana el ruido prácticamente desaparece.
La imagen filtrada, comparada con la original, se ve también suavizada, como en el
ejercicio anterior.
2.Morfología
La morfología matemática es una técnica, basada en la teoría de conjuntos, muy utilizada
en el tratamiento de la imagen. Se construye sobre dos operadores básicos, la erosión y la dilatación, que son los que estudiaremos en primer lugar. Son transformaciones que se definen
para imágenes binarias y se extienden a imágenes en niveles de gris.
A pesar de tratarse de operaciones no lineales, describiremos su funcionamiento manteniendo
el paralelismo con las transformaciones lineales espaciales hasta donde nos sea posible.
2.1.Elemento estructurante
En vez de máscara, las operaciones morfológicas utilizan lo que se denomina elemento estructurante. Una máscara define el tipo de transformación que se aplica a la imagen y la ventana
de trabajo; el elemento estructurante, en cambio, define solo la ventana de trabajo.
Considerando los elementos estructurantes como estructuras cuadradas, igual que las
máscaras, los píxeles afectados son los marcados con el valor 1, el resto valen 0:
El elemento estructurante EE1 afecta al píxel central de la ventana y sus ocho vecinos más inmediatos, mientras
que EE2 afecta al píxel central y a dos de sus vecinos. En este módulo consideraremos elementos
estructurantes con todos los coeficientes con valor 1; de dimensiones 3 × 3 o superiores,
pero siempre cuadrados.
El elemento estructurante se desplaza por la imagen píxel a píxel, como lo hacía la
máscara. La diferencia con las operaciones lineales es que no hay convolución espacial
sino que a cada ventana se le aplica una operación no lineal; como mencionábamos anteriormente,
las operaciones básicas son la erosión y la dilatación.
2.2.Erosión y dilatación
El operador erosión busca, para cada píxel de la imagen original, el nivel de gris más pequeño presente
en la ventana de trabajo y sustituye en la imagen transformada el píxel correspondiente
para este valor mínimo.
En una imagen binaria solo pueden darse dos casos:
-
que todos los píxeles de la ventana de trabajo tengan nivel de gris 255 (es decir, blanco) y entonces el píxel en la imagen transformada no se modifica, o
-
que al menos uno de los píxeles de la ventana de trabajo tenga nivel de gris 0 (negro) y este es el valor del píxel en la imagen de salida. El resultado es que las zonas blancas de la imagen se reducen y las zonas negras aumentan, como puede verse en la figura 3, erosionada (1) con EE1 (con la función de Photoshop Filter/Other/Minimum).
Figura 3. Erosión aplicada a una imagen binaria
Si la imagen es en niveles de gris, la erosión produce un oscurecimiento general de
la imagen, así como una cierta distorsión de los contornos, más apreciable cuanto
mayor sea el elemento estructurante; tenemos un ejemplo en la figura 4.
Figura 4. Erosión aplicada a una imagen monocromática
El operador dilatación realiza la operación dual de la erosión, recupera el nivel
de gris máximo de la ventana de trabajo; con imágenes binarias esto significa que
solo con que haya un píxel con valor 255, la salida es 255. Así, las zonas negras
se reducen y las blancas se amplían, como muestra la figura 5, donde la misma imagen
que se erosionaba en la figura 3 se ha dilatado con EE1 (con la función de Photoshop Filter/Other/Maximum).
Figura 5. Dilatación aplicada a una imagen binaria
En una imagen monocromática la dilatación (2) produce una aclaración general; la figura 6 nos muestra una dilatación con elemento
estructurante EE1 sobre la misma imagen de la figura 4. Se aprecia también, como en el caso de la erosión,
distorsión en los contornos.
Figura 6. Dilatación aplicada a una imagen monocromática
Los nombres erosión y dilatación hacen referencia al efecto de las transformaciones en imágenes binarias con objetos
blancos sobre un fondo negro; los objetos se ven erosionados o dilatados respecto
a su forma original.
La figura 7 nos muestra, a partir de una imagen que contiene diferentes objetos cuadrados,
algunas aplicaciones de los operadores erosión (figura 7a) y dilatación (figura 7b);
en todos los casos las operaciones se han hecho con el elemento estructurante EE1.
-
El contorno cuadrado se adelgaza con la erosión, mientras que se ensancha con la dilatación. Lógicamente, el cuadrado negro interior se engrandece con la erosión y se empequeñece con la dilatación.
-
Los cuadraditos más pequeños desaparecen con la erosión. La valoración pequeño o grande se hace en relación al elemento estructurante; en este caso los cuadraditos que se han eliminado tienen un tamaño inferior a 3 × 3 píxeles, mientras que los que continúan siendo visibles son más grandes que el elemento estructurante.
-
La erosión separa objetos cercanos, como los dos cuadrados más grandes; esto facilita el aislamiento o el recuento de objetos.
-
La dilatación, por el contrario, une objetos cercanos, lo que puede resultar muy útil para rellenar o completar objetos que la adquisición de la imagen no ha representado suficientemente bien.
Figura 7. Efectos de la erosión (a) y dilatación (b) sobre una imagen binaria
Observemos en la figura 7 que conseguir el efecto deseado con la erosión o bien con
la dilatación implica asumir cierta distorsión. Por ejemplo, si nuestro objetivo es
eliminar los cuadraditos más pequeños, esto comporta que el resto de objetos se haga
también más pequeño; se observa especialmente que los cuadraditos quedan reducidos
prácticamente a un punto. En el subapartado siguiente estudiaremos la apertura y el cierre, dos filtros que combinan la erosión y la dilatación para reducir estos efectos no
deseados.
2.3.Apertura y cierre
Con la apertura y el cierre modificamos los mismos aspectos de la imagen que con la
erosión y la dilatación por separado, pero modificando lo menos posible el resto de
la imagen. Actúan de filtro, modificando cierta información y conservando el resto.
La apertura (3) consiste en una erosión seguida de una dilatación con el mismo elemento estructurante.
La primera operación borra los detalles pequeños y de intensidad alta a la vez que
oscurece la imagen; la dilatación aclara la imagen sin recuperar los detalles borrados.
Por tanto, la apertura elimina detalles claros de una imagen. Concretamente, elimina
los objetos claros de menor tamaño que los del elemento estructurante.
Ejemplo de apertura
La figura 8a muestra la fotografía de una galaxia; nuestro objetivo es destacarla
del fondo y la primera transformación que hacemos es binarizar la imagen, con un umbral
de 128; el resultado de esta transformación es la figura 8b. Sobre el fondo negro
vemos la galaxia, estrellas de un cierto tamaño y puntos que no son estrellas, sino
ruido de fondo que había en la imagen original y que la binarización no ha eliminado.
Para suprimirlos, aplicamos una apertura sobre la imagen. La figura 8c muestra el
resultado del primer paso, la erosión, que elimina los píxeles ruidosos a la vez que
reduce el tamaño de la galaxia; la figura 8d muestra la imagen definitiva después
del segundo paso, la dilatación, con la galaxia del tamaño original.
Figura 8. Apertura de una imagen monocromática
El cierre (4) consiste en una dilatación seguida de una erosión, manteniendo siempre el mismo elemento
estructurante. La dilatación elimina los detalles oscuros de la imagen y la aclara;
la erosión oscurece la imagen sin recuperar los detalles eliminados. Así, el cierre
elimina detalles oscuros de la imagen de tamaño menor que los del elemento estructurante.
Ejemplo de cierre
La figura 9 muestra un ejemplo de aplicación del cierre. El objetivo es eliminar de
la fotografía original (figura 9a) los cables que la atraviesan en diagonal, dejando
solo la estructura de la torre. Aplicamos una dilatación y utilizamos un elemento
estructurante de 5 × 5 porque vemos que el elemento de 3 × 3 que hemos utilizado hasta
ahora no es suficiente para borrar totalmente las líneas. El resultado de la dilatación
es la figura 9b; los cables efectivamente se han borrado y el resto de líneas se ha
adelgazado. La erosión aplicada posteriormente (figura 9c) las recupera.
Figura 9. Cierre de una imagen monocromática
2.4.Énfasis general de contornos
Acabaremos este apartado mostrando cómo podemos utilizar las operaciones morfológicas
para detectar contornos en una imagen, como alternativa a las transformaciones espaciales
lineales que vimos en la unidad anterior. De las diversas formas que hay de hacerlo,
tomamos como ejemplo la detección de contornos utilizando la erosión.
Sabemos que, en una imagen binaria, la erosión reduce el tamaño de los objetos blancos
y vemos un nuevo ejemplo en la figura 10, con un elemento estructurante 3 × 3. Si
comparamos la imagen original (figura 10a) con la erosionada (figura 10b), todos los
píxeles de ambas imágenes son iguales, tanto en el fondo negro como en los cuadraditos
blancos, excepto en los píxeles que se han erosionado. Intuitivamente, si restamos
las imágenes, todos los píxeles de la imagen diferencia tendrán nivel 0 excepto los
píxeles que se han modificado que son, precisamente, los contornos. La figura 10c
nos muestra la diferencia entre ambas imágenes (obtenida con Photoshop con la herramienta
Image/Apply image).
Figura 10. Detección de contornos mediante erosión
Por tanto, una forma de detectar contornos mediante operaciones morfológicas es restar
a la imagen original la imagen erosionada.
Siguiendo con la dilatación el mismo razonamiento que para el caso de la erosión,
llegamos a otra forma de hacerlo, restar a la imagen dilatada la imagen original.
En la figura 11 tenemos un ejemplo de detección de contornos utilizando la dilatación
con una imagen monocromática.
Figura 11. Detección de contornos mediante dilatación
Una vez hemos transformado la imagen para obtener exclusivamente los contornos, los
contornos de la imagen original se pueden enfatizar de la misma manera que apuntábamos
en el módulo «Transformaciones espaciales lineales», sumando ambas imágenes; la figura
12 muestra la enfatización de los contornos de la imagen utilizada en la figura 11
siguiendo este método.
Figura 12. Enfatización de contornos mediante dilatación
2.5.Ejercicios de morfología
Ejercicio 1
Se quiere modificar la imagen nature8.pgm para que los círculos concéntricos se rellenen y se vean como un círculo negro y
se piensa en utilizar una erosión. ¿Pensáis que es una buena opción? ¿Cuál deberá
ser el tamaño mínimo del elemento estructurante para conseguir el efecto que buscamos?
¿Qué otro efecto apreciamos en la imagen transformada?
Solución
La erosión buscará valores mínimos y reducirá las zonas blancas de la imagen, de forma
que las líneas negras concéntricas se irán ensanchando hasta juntarse; sí que es una
buena opción. Usamos la opción Filter/Other/Minimum; con un elemento estructurante 3 × 3 (radio = 1) todavía se ve una línea blanca,
con 5 × 5 (radio = 2) ya conseguimos el objetivo. Además de rellenar los círculos
de negro, el cuadrado blanco interno es más pequeño que antes de la transformación.
Ejercicio 2
Continuamos con la imagen nature8.pgm y trabajamos también con la imagen triangulo_de_ang.pgm. Aplicamos a ambas imágenes una dilatación con un elemento estructurante 3 × 3. ¿Cuáles
son los resultados de la transformación en ambos casos? ¿Qué conclusión podemos extraer
respecto al grosor de las líneas en ambas imágenes?
Solución
En la imagen nature8.pgm la dilatación (en este caso utilizaremos la opción Filter/Other/Maximum) de las zonas blancas hace que los círculos negros se adelgacen, pero continúan siendo
visibles; en cambio, en la imagen triangulo_de_ang.pgm las líneas se borran y solo queda el fondo gris. Esto nos indica que las líneas negras
en la primera imagen son más gruesas que en la segunda.
Ejercicio 3
La imagen quadradets.tiff contiene cuadraditos de diferentes tamaños, nuestro objetivo es eliminar los más
pequeños utilizando una apertura. ¿Cuál es el elemento estructurante que borra los
seis cuadraditos más pequeños? ¿Qué elemento estructurante debemos utilizar en la
dilatación?
Solución
En la erosión, el elemento estructurante 3 × 3 (radio 1) es demasiado pequeño como
para borrar los cuadraditos, debemos utilizar un elemento 5 × 5. En la dilatación
debemos utilizar el mismo, si no lo hacemos así, el resto de los objetos de la imagen
no se restaurarán con el tamaño correcto. Comprobamos en la imagen transformada final
que, efectivamente, hemos eliminado los objetos no deseados sin distorsionar el resto
de imágenes.
Ejercicio 4
Se quiere eliminar el texto que aparece en la imagen cmpndd.pgm, incluido el que se superpone a la fotografía de la parte inferior. ¿Qué transformación
morfológica utilizaríamos? ¿Cuáles son los resultados que se obtienen?
Solución
Necesitamos una operación que elimine los detalles más oscuros de la imagen, por tanto
estamos hablando de una dilatación. Si aplicamos solo una dilatación, conseguimos
nuestro objetivo pero el resto de la imagen, que es monocromática, queda globalmente
más clara que la original. Aplicando a continuación una erosión (y globalmente estamos
aplicando un cierre), oscurecemos nuevamente la imagen. Cabe remarcar que en la fotografía
de la parte inferior se aprecia distorsión aunque utilicemos el elemento estructurante
más pequeño del que disponemos.
Ejercicio 5
Los objetivos de este ejercicio, que realizaremos con la imagen einstein.pgm, son dos: obtener una nueva imagen que contenga solo los contornos de la imagen original
y enfatizar los contornos de la imagen original, en ambos casos transformando la imagen
mediante la erosión. Explicad los pasos que seguís para conseguir ambos objetivos.
Solución
En primer lugar, detectaremos los contornos de la imagen; necesitaremos realizar una
erosión con un elemento estructurante 3 × 3 y restar la imagen erosionada a la imagen
original. Para hacer el resto, utilizaremos la utilidad Image/Apply image de Photoshop. La imagen que obtenemos tiene el fondo negro y sobre él se dibujan
los contornos de la imagen original. Para enfatizar los contornos en la imagen original,
solo hace falta sumar la imagen que hemos obtenido anteriormente; obtenemos una imagen
con los contornos más definidos.
3.Imágenes empleadas en las figuras
Las imágenes que se han utilizado en las figuras de esta unidad para los ejemplos
con Photoshop son las siguientes.
|
Figura |
Imagen |
Dirección URL |
|---|---|---|
|
2 |
soroll impulsiu.tif |
Se adjunta la imagen |
|
3 |
thueven.pgm |
|
|
4 |
7.01.05.pgm |
|
|
5 |
thueven.pgm |
|
|
6 |
7.01.05.pgm |
|
|
7 |
mesquadradets.bmp |
Se adjunta la imagen |
|
8 |
7314.pgm |
|
|
9 |
33b.pgm |
|
|
10 |
quadradets.tif |
Se adjunta la imagen |
|
11 |
indor4.pgm |
|
|
12 |
indor4.pgm |
Resumen
Las operaciones espaciales no lineales no cumplen las condiciones necesarias para
poderlas implementar mediante una máscara y una convolución espacial. En lugar de
esto, quedan definidas por la ventana de trabajo y una operación en la que el píxel
de salida se escoge por comparación de su nivel de gris con el del resto de los píxeles
de la ventana.
La mediana es una de estas operaciones no lineales, en que cada píxel de la imagen
transformada es la mediana de la ventana de trabajo asociada al píxel correspondiente
en la imagen original.
Las operaciones morfológicas son otra familia de operaciones no lineales, construidas
a partir de dos operaciones básicas, la erosión y la dilatación. En las operaciones
morfológicas, la ventana de trabajo queda definida por el elemento estructurante,
una matriz similar a la máscara donde los coeficientes pueden tener valor 1 o 0 según
si el píxel correspondiente se ve afectado o no por la operación.
La erosión es una operación que busca el valor mínimo de nivel de gris en la ventana
de trabajo y sustituye cada píxel de la imagen original por este valor mínimo. En
consecuencia, suprime los detalles más claros de la imagen y la oscurece globalmente.
La dilatación es una operación que busca el valor máximo de nivel de gris en la ventana
de trabajo y sustituye cada píxel de la imagen original por este máximo. En consecuencia,
suprime los detalles más oscuros de la imagen y la aclara globalmente.
Apertura y cierre son dos filtros que se definen a partir de los anteriores; la apertura
es una erosión seguida de una dilatación y el cierre es una dilatación seguida de
una erosión. En ambos casos se mantiene el elemento estructurante.
Una de las aplicaciones de las operaciones morfológicas es el énfasis de contornos;
los contornos de una imagen se pueden obtener, entre otras maneras, restando a la
imagen original su versión erosionada (o restando a la versión dilatada la imagen
original).