Matemática financiera aplicada a la contabilidad

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Tercera edición: julio 2013
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Índice

Introducción
1.Operación financiera
- 1.1.Elementos que intervienen en una operación financiera
- 1.2.Clases de operaciones financieras
2.Capitalización simple
3.Capitalización compuesta
- 3.1.Ejemplos de cálculo del capital final
- 3.2.Ejemplo de cálculo del capital inicial
4.Comparación entre capitalización simple y capitalización compuesta
5.Equivalencia de intereses (tanto efectivo y tanto nominal)
- 5.1.Tanto efectivo anual (T.A.E)
- 5.2.Tanto nominal
6.Matemáticas financieras aplicadas a contabilidad
- 6.1.Valor actual
  - 6.1.1.Ejemplos de valor actual de un pasivo
- 6.2.Valor en uso
  - 6.2.1.Ejemplos de valor en uso de un activo
- 6.3.Coste amortizado
  - 6.3.1.Ejemplos de valor amortizado de un pasivo financiero
  - 6.3.2.Ejemplo de valor amortizado de un activo financiero
7.Matemática financiera aplicada a la inversión. Fundamentos básicos de valoración de un proyecto de inversión

Introducción

Cuando disponemos de una cantidad de dinero, la podemos destinar, o bien a satisfacer alguna necesidad gastándola (consumo), o bien a invertirla para recuperarla en un futuro más o menos próximo. Estaremos dispuestos a invertir sacrificando el consumo, siempre y cuando la compensación económica nos resulte suficiente.

Esta compensación económica se cuantificará a través del interés, que se puede definir como el precio del dinero por el uso o el alquiler durante un período de tiempo.

Los intereses obtenidos dependerán de tres variables:

Capital invertido
Tiempo que dure la operación
Tipo de interés al que se valore la operación

Entre otras razones, esta compensación económica se exige por:

El riesgo que se asume.
Por la falta de disponibilidad de ese capital durante un tiempo.
Por la depreciación del valor del dinero en el tiempo.

En realidad, lo importante del capital (del dinero) es que éste se pueda mover en el tiempo y que podamos hallar su valor en distintos momentos.

Las matemáticas financieras permiten calcular los capitales que recibiremos o tendremos que desembolsar como consecuencia de cualquier operación financiera. Así, el conocimiento de la matemática financiera permite calcular cuotas de préstamos, entender los distintos tipos de interés, calcular el importe de los intereses que se recibirán por un determinado depósito, etc.

Para que una operación financiera se realice, es necesario que a los individuos que intervienen, las cantidades que dan y las cantidades que reciben, les resulten equivalentes (que no es lo mismo que iguales), es decir, dos capitales cualesquiera, capital 1 con vencimiento en tiempo 1 y un capital 2 con vencimiento en tiempo 2, son equivalentes cuando se está de acuerdo en intercambiar uno por otro. Por lo tanto, es necesario que deudor y acreedor se pongan de acuerdo en valorar los capitales de los que se parte y a los que se llega. Para realizar esta cuantificación, se debe elegir un método matemático (fórmula) para cuantificar los intereses.

Capitales equivalentes

1.Operación financiera

Una operación financiera es la sustitución de uno o más capitales por otro u otros equivalentes en diferentes momentos de tiempo, aplicando una ley financiera.

Un capital financiero está formado por dos componentes: la cuantía monetaria (C) y el momento en el tiempo (t) en que aquella es intercambiada. Si no conocemos los dos componentes, el capital financiero no está definido de forma correcta.

1.1.Elementos que intervienen en una operación financiera

a) Elementos personales

En cualquier operación financiera básica, intervienen dos sujetos, por un lado el acreedor, que es el que pone a disposición del otro sujeto, el deudor, uno o varios capitales, que posteriormente éste devolverá al acreedor, incrementados en el importe de los intereses.

En una operación financiera, el capital o los capitales que se entregan y reciben por parte del acreedor, y los que recibe y entrega el deudor, no coinciden. El aplazamiento o el adelanto de dicho capital en el tiempo supone la creación de unos intereses que habrá que tener en cuenta y cuantificar, ya que formarán parte de la operación.

Por lo tanto, prestación y contraprestación nunca son aritméticamente iguales.

Aunque prestación y contraprestación no sean aritméticamente iguales, siempre habrá una ley financiera que haga que resulten financieramente equivalentes, es decir, que si valoramos prestación y contraprestación en un mismo momento de tiempo, con la misma ley financiera y al mismo tipo de interés, entonces sí se producirá igualdad numérica entre prestación y contraprestación.

b) Elementos temporales

1.2.Clases de operaciones financieras

Según el tiempo de duración

Según la ley financiera que utilicemos

2.Capitalización simple

Una operación financiera en capitalización simple tiene por objeto la sustitución de un capital en el momento actual (hoy) por otro equivalente con vencimiento posterior, mediante la aplicación del régimen de interés simple.

Partiendo de un capital del que disponemos inicialmente, llamémosle capital inicial (C), tratamos de determinar la cuantía final que se recuperará en el futuro, llamémosle capital final (C'), sabiendo que la operación se contrata durante un tiempo (t) determinado y a un tipo de interés (i).

En capitalización simple, los intereses siempre los genera el capital inicial, por lo que los intereses podemos decir que no son productivos, esto quiere decir que, a medida que se generan, no se acumulan al capital inicial para producir nuevos intereses en el futuro.

La fórmula que utilizaremos será:

C'= C+ C x t x i.

Teniendo en cuenta que:

C'= C+ C x t x i = C' = C x (1 + t x i).

Finalmente nos quedará:

C' = C x (1 + t x i)

Donde:

C = capital inicial.

C'= capital final.

t = duración de la operación.

i = tipo de interés.

A partir de esta fórmula, no sólo se pueden calcular montantes, es decir, capitales finales, sino que, conocidos tres datos cualesquiera, se podría despejar el cuarto restante (lo veremos con ejemplos).

Por último, hay que tener presente que (t) lo que indica es el número de veces que se han generado intereses al capital inicial, por tanto, esa variable siempre ha de estar en la misma unidad de tiempo que el tipo de interés.

2.1.Ejemplos de cálculo de capital final

Ejemplo 1

El Señor Fernández deposita en la entidad financiera Z 1.000 euros durante 3 años, a un tipo de interés del 6% en régimen de capitalización simple.

Se pide calcular el capital que el Sr. Fernández obtendrá dentro de 3 años.

C = 1.000

i = 0,06

t = 3 años

C' = ?

Teniendo en cuenta:

C' = C x (1 + t x i).

Realizaremos el siguiente cálculo:

C' = 1.000 x (1 + 3 x 0,06) = 1.000 (1,18) = 1.180 euros.

En este caso vemos que el montante obtenido ha sido de 1.180 euros, por lo que podemos decir que los intereses obtenidos (I) por realizar dicho depósito han sido de 180 euros, los cuales se obtienen por la diferencia entre el capital inicial y el capital final.

Sabiendo que:

C' = C + I.

Despejamos I y obtenemos:

I = C' – C = 1.180 – 1.000 = 180.

Ejemplo 2

Queremos saber qué capital podremos retirar dentro de 3 años si hoy depositamos 2.000 euros al 4% de interés anual para el primer año y cada año nos incrementa el tipo de interés un punto porcentual.

En este caso, podemos observar que no podemos aplicar la fórmula general de capitalización simple, ya que el tipo de interés varía en cada período.

El capital final será igualmente el resultado de añadir al capital inicial los intereses producidos durante cada período, calculados siempre sobre el capital inicial al tipo de interés vigente en cada período.

C = 2.000

i₁ = 0,04

i₂ = 0,05

i₃ = 0,06

t = 3 años

C' = ?

C' = C + I₁ + I₂ + I₃

Se debe tener en cuenta que:

I₁ = C x 1 x 0,04

I₂ = C x 1 x 0,05

I₃ = C x 1 x 0,06

C' = 2.000 + 2.000 x 1 x 0,04 + 2.000 x 1 x 0,05 + 2.000 x 1 x 0,06.

C' = 2.000 + 80 +100 + 120 = 2.300 euros.

2.2.Ejemplo de cálculo de capital inicial

Partiendo de la fórmula del capital final, y conocidos el capital final, la duración de la operación y el tipo de interés, bastará con despejar de dicha fórmula el capital inicial.

Fórmula capital final:

C' = C x (1 + t x i).

Despejamos C, y obtenemos la fórmula del capital inicial:

Ejemplo 3

Si dentro de 2 años quiero disponer de 2.500 euros para comprarme una máquina, ¿cuánto debo invertir hoy si me aseguran un interés del 5% anual para estos 2 años?

C =?

C' = 2.500

t = 2 años

i = 0,05

2.3.Ejemplo de cálculo del tipo de interés

Para el cálculo del tipo de interés (i), conociendo el capital inicial, capital final y duración de la operación, despejaremos la i de la fórmula del capital final.

Fórmula capital final:

C' = C x (1 + t x i)

1.^er paso. Pasar C al primer miembro (estaba multiplicando y pasa dividiendo):

2.º paso. Pasar el 1 al primer miembro (estaba sumando y pasa restando):

3.^er paso. Despejar el tipo de interés:

Ejemplo 4

Calcular el tipo de interés anual al que deben depositarse 3.000 euros para obtener 4.500 euros en 4 años.

C = 3.000

C' = 4.500

t = 4 años

i = ?

2.4.Ejemplos de cálculo de la duración

Para el cálculo de la duración (t), conociendo el capital inicial, capital final y tipo de interés de la operación, despejaremos la t de la fórmula del capital final.

Fórmula capital final:

C' = C x (1 + t x i)

1.^er paso. Pasar C al primer miembro (estaba multiplicando y pasa dividiendo):

2.º paso. Pasar el 1 al primer miembro (estaba sumando y pasa restando):

3.^er paso. Despejar la duración:

Ejemplo 5

Un capital de 1.000 euros depositado a un interés simple al 3% anual asciende a 1.300 euros. Determinar el tiempo que dicho capital estuvo impuesto.

C = 1.000

C' = 1.300

t = ?

i = 0,03

3.Capitalización compuesta

Una operación financiera en capitalización compuesta tiene por objeto la sustitución de un capital en el momento actual (hoy) por otro equivalente con vencimiento posterior, mediante la aplicación del régimen de interés compuesto.

El capital final (C') se va formando por la acumulación al capital inicial (C) de los intereses que periódicamente se van generando y que, en este caso, se van acumulando al mismo, durante el tiempo que dure la operación (t), pudiéndose disponer de ellos al final, junto con el capital inicialmente invertido.

En capitalización compuesta, los intereses siempre los genera el capital existente al inicio de dicho período, por lo que los intereses podemos decir que son productivos, ya que a medida que se generan se acumulan al capital inicial para producir nuevos intereses en los períodos siguientes.

Fórmula a utilizar:

C' = C x (1 + i)^t

Donde:

C = capital inicial.

C'= capital final.

t = duración de la operación.

i = tipo de interés.

Esta fórmula sólo será aplicable cuando el tipo de interés de la operación se mantiene constante. Cuando el interés varíe durante la vigencia de la operación, habrá que trabajar con el tipo de interés vigente en cada período.

A partir de esta fórmula no sólo se pueden calcular montantes, es decir, capitales finales, sino que, conocidos tres datos cualesquiera, se podría despejar el cuarto restante (lo veremos con ejemplos).

3.1.Ejemplos de cálculo del capital final

Ejemplo 1

Calcular el capital obtenido dentro de 10 años si hoy depositamos 2.000 euros a un interés del 5% anual en régimen de capitalización compuesta.

C = 2.000

i = 0,05

t = 10 años

C' = ?

C' = C x (1 + i)^t.

C' = 2.000 x (1 + 0,05)¹⁰ = 2.000 (1,05)¹⁰ = 3.257,79 euros.

Supongamos que la operación se hubiese realizado en régimen de capitalización simple:

C' = C x (1 + t x i).

C' = 2.000 x (1 + 10 x 0,05) = 2.000 (1,50) = 3.000 euros.

La diferencia entre los dos capitales finales (257,79 euros) se debe a que en régimen de capitalización compuesta los intereses que se han ido generando cada año se han ido acumulando al capital inicial, y sobre la suma de estos intereses y el capital inicial se han ido generando los intereses del siguiente año y así hasta llegar al vencimiento de la operación.

En cambio, en régimen de capitalización simple los intereses se han generado sobre el capital inicial.

Ejemplo 2

El Señor Z deposita, en la entidad financiera Y, 3.000 euros durante un período de 6 años a un tipo de interés del 4%, en régimen de capitalización compuesta.

Calcular el capital que el Señor Z obtendrá al finalizar la operación.

C = 3.000

i = 0,04

t = 6 años

C' = ?

C' = C x (1 + i)^t.

C' = 3.000 x (1 + 0,04)⁶ = 3.000 (1,04)⁶ = 3.795,96 euros.

En este caso vemos que el montante obtenido ha sido de 3.795.96 euros, por lo que podemos decir que los intereses obtenidos (I) por realizar dicho depósito han sido de 795,96 euros, que los obtenemos por diferencia entre el capital inicial y el capital final.

Sabiendo que:

C' = C + I.

Despejamos I y obtenemos:

I = C' – C = 3.795,96 – 3.000 = 795,96.

3.2.Ejemplo de cálculo del capital inicial

Partiendo de la fórmula del capital final, y conocidos el capital final, la duración de la operación y el tipo de interés, bastará con despejar de dicha fórmula el capital inicial:

Fórmula del capital final:

C' = C x (1 + i)^t

Despejamos C, y obtenemos la fórmula del capital inicial:

Ejemplo 3

Si dentro de 3 años quiero de disponer de 5.000 euros para comprarme un coche, ¿cuánto debo invertir hoy si me aseguran un interés del 7% anual compuesto para estos 3 años?

C =?

C' = 5.000

t = 3 años

i = 0,07

4.Comparación entre capitalización simple y capitalización compuesta

A través de un ejemplo, vamos a elaborar un estudio comparativo entre el régimen de capitalización simple y el régimen de capitalización compuesta.

Suponed que se realiza una inversión de 2.000 euros, durante 5 años, a un tipo del 10% efectivo anual. Vamos a calcular el capital final alcanzado al final de cada período, tanto en régimen de capitalización simple como en compuesta.

Capitalización simple

Año 1: C' = C x (1 + t x i) = 2.000 x (1 + 1 x 0,10) = 2.200

Año 2: C' = C x (1 + t x i) = 2.000 x (1 + 2 x 0,10) = 2.400

Año 3: C' = C x (1 + t x i) = 2.000 x (1 + 3 x 0,10) = 2.600

Año 4: C' = C x (1 + t x i) = 2.000 x (1 + 4 x 0,10) = 2.800

Año 5: C' = C x (1 + t x i) = 2.000 x (1 + 5 x 0,10) = 3.000

Capitalización compuesta

Año 1: C' = C x (1 + i)^t = 2.000 x (1 + 0,10)¹ = 2.200

Año 2: C' = C x (1 + i)^t = 2.000 x (1 + 0,10)² = 2.420

Año 3: C' = C x (1 + i)^t = 2.000 x (1 + 0,10)³ = 2.662

Año 4: C' = C x (1 + i)^t = 2.000 x (1 + 0,10)⁴ = 2.928,20

Año 5: C' = C x (1 + i)^t = 2.000 x (1 + 0,10)⁵ = 3.221,02

Trasladamos los datos obtenidos a un cuadro para poder observar mejor las diferencias entre los importes obtenidos a través de un régimen y el otro.

Años	1	2	3	4	5
Simple	2.200	2.400	2.600	2.800	3.000
Compuesta	2.200	2.420	2.662	2.928,20	3.221,02

Podemos observar que el capital final obtenido en régimen de capitalización simple va aumentando linealmente; cada año aumenta en 200 euros (los intereses del año se generan siempre a partir del capital inicial de 2.000 euros).

En régimen de capitalización compuesta, observamos que cada año se van generando más intereses que en el período anterior (los intereses generan nuevos intereses en períodos siguientes), el capital final obtenido en régimen de capitalización compuesta aumenta exponencialmente y no de manera lineal.

Gráficamente:

A través del gráfico observamos que, transcurrido un período (1 año, considerando tipo de interés anual), el capital final coincide tanto en régimen de capitalización simple como en régimen de capitalización compuesta, pero que para cualquier otro momento ya no existe ninguna otra coincidencia, y que las diferencias entre ambos regímenes son cada vez mayores.

Según la ley de capitalización compuesta para períodos inferiores a un año, el capital final en régimen de capitalización simple siempre será mayor que en capitalización compuesta.

Por lo tanto:

< 1 año = Capitalización simple > Capitalización compuesta

= 1 año = Capitalización simple = Capitalización compuesta

> 1 año = Capitalización simple < Capitalización compuesta

Veamos un ejemplo de cómo en períodos inferiores al año el capital final en régimen de interés simple es mayor que el capital final en régimen de capitalización compuesta.

Ejemplo

Calcular (en régimen de capitalización simple y en régimen de capitalización compuesta) el capital final obtenido tras realizar una inversión de 1.000 euros a un tipo de interés anual del 6% durante:

a) Tres meses.

b) Seis meses.

c) Nueve meses.

d) Un año.

Primero tendremos que pasar lo meses a años, ya que el tipo de interés que tenemos es anual y para poder aplicar las fórmulas es imprescindible que tanto interés como tiempo estén expresados en la misma unidad de tiempo.

Interés simple

a) Tres meses.

Pasamos los meses a años y decimos que 3 meses son = 3/12 = 0,25 años.

C' = C x (1 + t x i) = 1.000 x (1 + 0,25 x 0,06) = 1.000 (1,015) = 1.015,00 euros.

b) Seis meses.

Pasamos los meses a años y decimos que 6 meses son = 6/12 = 0,5 años.

C' = C x (1 + t x i) = 1.000 x (1 + 0,05 x 0,06) = 1.000 (1,03) = 1.030,00 euros.

c) Nueve meses.

Pasamos los meses a años y decimos que 9 meses son = 9/12 = 0,75 años.

C' = C x (1 + t x i) = 1.000 x (1 + 0,75 x 0,06) = 1.000 (1,045) = 1.045,00 euros.

d) Un año.

En este caso no hace falta cambiar de unidad de tiempo, ya que el tiempo y el tipo de interés son a un año.

C' = C x (1 + t x i) = 1.000 x (1 + 1 x 0,06) = 1.000 (1,06) = 1.060,00 euros.

Interés compuesto

a) Tres meses.

Pasamos los meses a años y decimos que 3 meses son = 3/12 = 0,25 años.

C' = C x (1 + i)^t = 1.000 x (1 + 0,06)^0,25 = 1.000 (1,06)^0,25 = 1.014,67 euros.

b) Seis meses.

Pasamos los meses a años y decimos que 6 meses son = 6/12 = 0,5 años.

C' = C x (1 + i)^t = 1.000 x (1 + 0,06)^0,5 = 1.000 (1,06)^0,5 = 1.029,56 euros.

c) Nueve meses.

Pasamos los meses a años y decimos que 9 meses son = 9/12 = 0,75 años.

C' = C x (1 + i)^t = 1.000 x (1 + 0,06)^0,75 = 1.000 (1,06)^0,75 = 1.044,67 euros.

d) Un año.

En este caso no hace falta cambiar de unidad de tiempo, ya que el tiempo y el tipo de interés son a un año.

C' = C x (1 + i)^t = 1.000 x (1 + 0,06)¹ = 1.000 (1,06)¹ = 1.060,00 euros.

5.Equivalencia de intereses (tanto efectivo y tanto nominal)

Normalmente los tipos de interés vienen expresados en términos anuales, pero no siempre se devengan con esa periodicidad (frecuencia), sino que, normalmente, se devengan en períodos más pequeños (meses, trimestres, cuatrimestres, semestres, etc.).

Por lo tanto, si se cambia la frecuencia de cálculo de los intereses, tendremos que cambiar el tipo de interés aplicado en cada caso.

Podemos definir tantos equivalentes como dos tantos cualesquiera, expresados en distintas unidades de tiempo, que aplicados a un mismo capital inicial durante un mismo período de tiempo producen el mismo interés o generan el mismo capital final.

5.1.Tanto efectivo anual (T.A.E)

i = Tanto efectivo anual = TAE

m = frecuencia de capitalización, número de veces que en un año los intereses se acumulan al capital.

A través de un ejemplo vamos a ver cómo en régimen de interés simple los tantos de interés equivalentes son proporcionales, aunque cambie la frecuencia de capitalización de los intereses, mientras que en régimen de interés compuesto esto no es así, es decir, en régimen de capitalización compuesta los intereses no son proporcionales.

Ejemplo

Calcular (en régimen de capitalización simple y en régimen de capitalización compuesta) el capital final obtenido tras realizar una inversión de 1.000 euros durante 1 año en las siguientes condiciones:

a) Interés anual del 12%.

b) Interés semestral del 6%.

c) Interés cuatrimestral del 4%.

d) Interés trimestral del 3%.

e) Interés mensual del 1%.

Interés simple

a) Interés anual del 12%. (i = 12%).

C' = C x (1 + t x i) = 1.000 x (1 + 1 x 0,12) = 1.000 (1,12) = 1.120 euros.

b) Interés semestral del 6%. (i₂ = 6%).

C' = C x (1 + t x i) = 1.000 x (1 + 2 x 0,06) = 1.000 (1,12) = 1.120 euros.

c) Interés cuatrimestral del 4%. (i₃ = 4%).

C' = C x (1 + t x i) = 1.000 x (1 + 3 x 0,04) = 1.000 (1,12) = 1.120 euros.

d) Interés trimestral del 3%. (i₄ = 3%).

C' = C x (1 + t x i) = 1.000 x (1 + 4 x 0,03) = 1.000 (1,12) = 1.120 euros.

e) Interés mensual del 1%. (i₁₂ = 1%).

C' = C x (1 + t x i) = 1.000 x (1 + 12 x 0,01) = 1.000 (1,12) = 1.120 euros.

Con este ejemplo vemos que los tantos de interés equivalentes en simple son proporcionales, por lo tanto, cumplen la siguiente expresión:

Interés compuesto

a) Interés anual del 12%. (i = 12%).

C' = C x (1 + i)^t = 1.000 x (1 + 0,12)¹ = 1.000 (1,12)¹ = 1.120 euros.

b) Interés semestral del 6%. (i₂ = 6%).

C' = C x (1 + i)^t = 1.000 x (1 + 0,06)² = 1.000 (1,06)² = 1.123,60 euros.

c) Interés cuatrimestral del 4%. (i₃ = 4%).

C' = C x (1 + i)^t = 1.000 x (1 + 0,04)³ = 1.000 (1,04)³ = 1.124,86 euros.

d) Interés trimestral del 3%. (i₄ = 3%).

C' = C x (1 + i)^t = 1.000 x (1 + 0,03)⁴ = 1.000 (1,03)⁴ = 1.125,51 euros.

e) Interés mensual del 1%. (i₁₂ = 1%).

En cambio, vemos que en régimen de compuesta esta proporcionalidad no es válida. Esto es debido a que los intereses generados se van acumulando al capital inicial y, por lo tanto, el cálculo de intereses se hace cada vez sobre un capital mayor. Así, vemos que cuanto mayor sea la frecuencia de capitalización de intereses, antes se acumularán estos intereses y antes generarán nuevos intereses, por lo que a un mismo tipo de interés existirán diferencias en función de la frecuencia de capitalización.

C' = C x (1 + i)^t = 1.000 x (1 + 0,01)¹² = 1.000 (1,01)¹² = 1.126,82 euros.

Para conseguir que el capital final sea igual, independientemente de la frecuencia de capitalización de los intereses, utilizaremos la siguiente relación:

Esta relación la obtenemos aplicando la definición de tantos equivalentes, forzando a que un capital inicial (C) impuesto durante un determinado período de tiempo (t años) genere el mismo capital final (C') con independencia de la frecuencia de capitalización de intereses.

Si utilizamos el tanto anual (i), el capital final será:

Si utilizamos el tanto m-esimal (i_m), es decir, con una frecuencia de capitalización de intereses diferente a la anual, el capital final será:

Para que el capital final sea el mismo en los dos casos, tendremos que igualar las dos fórmulas (lo único que cambia es la frecuencia de capitalización de los intereses):

Para simplificar eliminamos C y la potencia t, ya que son los mismos en los dos lados de la igualdad, quedando:

Que es la expresión que nos relaciona los tantos (i) e (i_m), para que sean equivalentes.

Entonces, partiendo de la fórmula anterior:

La fórmula para determinar el valor de i en función de i_m, será:

La fórmula para determinar el valor de i_m en función de i, será:

Ahora a través del mismo ejemplo utilizado anteriormente vamos a ver como en régimen de capitalización compuesta, hallando los tantos equivalentes en las diferentes frecuencias de capitalización de intereses, el capital final será el mismo.

Calcular (régimen de capitalización compuesta) el capital final obtenido tras realizar una inversión de 1.000 euros durante 1 año a un 12% efectivo anual suponiendo:

a) Devengo anual de intereses.

b) Devengo semestral de intereses.

c) Devengo cuatrimestral de intereses.

d) Devengo trimestral de intereses.

e) Devengo mensual de intereses.

a) Devengo anual de intereses (i = 12%)

En este caso como el interés es anual (i₁), no tendremos que calcular el equivalente.

i₁ = 12%

C' = C x (1 + i)^t = 1.000 x (1 + 0,12)¹ = 1.000 (1,12)¹ = 1.120 euros

b) Devengo semestral de intereses (i₂)

En este caso, lo primero que tendremos que hacer será calcular el tanto semestral equivalente, ya que el que conocemos es el anual y ahora la frecuencia en la que se devengan los intereses es semestral.

i = 12%

m = 2 (ya que 1 año tiene dos semestres)

i₂ = ?

Comprobación:

Una vez obtenido el tanto efectivo semestral, calculamos el capital final:

C' = C x (1 + i)^t = 1.000 x (1 + 0,0583005)² = 1.000 (1,0583005)² = 1.120 euros

c) Devengo cuatrimestral de intereses (i₃)

Como en el caso anterior, lo primero que tendremos que hacer será calcular el tanto cuatrimestral equivalente, ya que el que conocemos es el anual y ahora la frecuencia en la que se devengan los intereses es cuatrimestral.

i = 12%

m = 3 (ya que 1 año tiene tres cuatrimestres)

i₃ = ?

Comprobación:

Una vez obtenido el tanto efectivo cuatrimestral, calculamos el capital final:

C' = C x (1 + i)^t = 1.000 x (1 + 0,03849882)³ = 1.000 (1,03849882)³ = 1.120 euros

d) Devengo trimestral de intereses (i₄)

Lo primero que tendremos que hacer será calcular el tanto trimestral equivalente, ya que el que conocemos es el anual y ahora la frecuencia en la que se devengan los intereses es trimestral.

i = 12%

m = 4 (ya que 1 año tiene cuatro trimestres)

i₄ = ?

Comprobación:

Una vez obtenido el tanto efectivo trimestral, calculamos el capital final:

C' = C x (1 + i)^t = 1.000 x (1 + 0,0287373)⁴ = 1.000 (1,0287373)⁴ = 1.120 euros

e) Devengo mensual de intereses (i₁₂)

Como en los casos anteriores, lo primero que tendremos que hacer será calcular el tanto mensual equivalente, ya que el que conocemos es el anual y ahora la frecuencia en la que se devengan los intereses es mensual.

i = 12%

m = 12 (ya que 1 año tiene 12 meses)

i₄ = ?

Comprobación:

Una vez obtenido el tanto efectivo trimestral, calculamos el capital final:

C' = C x (1 + i)^t = 1.000 x (1 + 0,00948787)¹² = 1.000 (1,0094887)¹² = 1.120 euros

Hasta ahora hemos visto la equivalencia de intereses entre tantos efectivos.

5.2.Tanto nominal

El tanto nominal es un tanto anual que se capitaliza más de una vez por año. Esta tasa nominal normalmente la fija el Banco Central de un país para regular el sistema financiero de dicho país.

El problema es que es una tasa de interés simple. Por lo tanto, no nos servirá para operar en capitalización compuesta, así que tendremos que convertir esa tasa nominal en una tasa efectiva.

La ecuación de la tasa nominal es la siguiente:

J_m = m x i_m

Donde:

m = frecuencia de capitalización, número de veces que en un año los intereses se acumulan al capital.

A través de un ejemplo vamos a ver cómo pasamos de un interés nominal a un interés efectivo.

Ejemplo 1

Dado un tipo nominal del 12%, determinar el interés anual efectivo (i₁) (TAE) en los casos en los que la capitalización sea:

a) anual

b) semestral

c) trimestral

d) mensual

a) Capitalización de intereses anual

En este caso tenemos:

j₁ = 12%

m = 1 (ya que los intereses se devengan anualmente)

i₁ = ? (buscamos el tanto de interés efectivo anual equivalente al tipo de interés nominal)

A través de la ecuación de la tasa nominal, hallaremos el interés efectivo anual:

J_m = m x i_m

Despejamos i₁:

i₁ = j₁ / 1

Sustituimos los valores:

En este caso vemos que el tanto nominal y el tanto efectivo coinciden, esto se debe a que la capitalización de intereses en ambos casos es anual.

b) Capitalización de intereses semestral

En este caso tenemos:

j₂ =12%

m = 2 (ya que los intereses se devengan semestralmente)

i₁ = ? (buscamos el tanto de interés efectivo anual equivalente al tipo de interés nominal)

Primero, a través de la ecuación de la tasa nominal, hallaremos el interés efectivo semestral:

J_m = m x i_m

Despejamos i₂:

i₂ = j₂ / 2

Sustituimos los valores:

Segundo, a través de la expresión de los tantos efectivos equivalentes, hallaremos el tanto efectivo anual, ya que el que tenemos es el tanto efectivo semestral:

i = (1 + i_m)^m - 1

Sustituimos los valores:

i = (1 + i₂)² – 1

c) Capitalización de intereses trimestral

En este caso tenemos:

J₄ = 12%

m = 4 (ya que los intereses se devengan trimestralmente)

i₁ = ? (buscamos el tanto de interés efectivo anual equivalente al tipo de interés nominal)

Primero, a través de la ecuación de la tasa nominal, hallaremos el interés efectivo trimestral:

J_m = m x i_m

Despejamos i₄:

i₄ = j₄ / 4

Sustituimos los valores:

Segundo, a través de la expresión de los tantos efectivos equivalentes, hallaremos el tanto efectivo anual, ya que el que tenemos es el tanto efectivo trimestral:

i = (1 + i_m)^m - 1

Sustituimos los valores:

i = (1 + i₄)⁴ – 1

d) Capitalización de intereses mensual

En este caso tenemos:

J₁₂ = 12%

m = 12 (ya que los intereses se devengan mensualmente)

i₁ = ? (buscamos el tanto de interés efectivo anual equivalente al tipo de interés nominal)

Primero, a través de la ecuación de la tasa nominal, hallaremos el interés efectivo mensual:

J_m = m x i_m

Despejamos i₁₂:

i₁₂ = j₁₂/ 12

Sustituimos los valores:

Segundo, a través de la expresión de los tantos efectivos equivalentes, hallaremos el tanto efectivo anual, ya que el que tenemos es el tanto efectivo mensual:

i = (1 + i_m)^m - 1

Sustituimos los valores:

i = (1 + i₁₂)¹² – 1

Con este ejemplo hemos podido observar que el tipo de interés efectivo anual, equivalente a un tipo nominal (anual), aumenta a medida que aumenta el número de capitalizaciones anuales.

Ahora con otro ejemplo vamos a ver cómo ocurre lo contrario, cómo un tipo nominal equivalente a un tipo efectivo anual disminuye a medida que aumenta el número de capitalizaciones anuales.

Ejemplo 2

Dado un tipo efectivo anual (TAE) del 12%, determinar el interés nominal en los casos en que la capitalización sea:

a) anual (j₁)

b) semestral (j₂)

c) trimestral (j₄)

d) mensual (j₁₂)

a) Capitalización de intereses anual (j₁)

En este caso tenemos:

i = 12%

m = 1 (ya que los intereses se devengan anualmente)

j₁ = ? (buscamos el tanto de interés nominal anual equivalente al tipo de interés efectivo)

A través de la ecuación de la tasa nominal, hallaremos el interés efectivo anual:

J_m = m x i_m

Sustituimos:

j₁ = 1 x i₁

Sustituimos los valores:

En este caso vemos que el tanto nominal y el tanto efectivo coinciden, esto se debe a que la capitalización de intereses en ambos casos es anual.

b) Capitalización de intereses semestral (j₂)

En este caso tenemos:

i = 12%

m = 2 (ya que los intereses se devengan semestralmente)

j₂ = ? (buscamos el tanto de interés nominal anual equivalente al tipo de interés efectivo semestral)

Primero, a través de la expresión de los tantos efectivos equivalentes hallaremos el tanto efectivo semestral, ya que el que tenemos es el tanto efectivo anual:

i_m = (1 + i)^{1/ m} - 1

Sustituimos los valores:

i₂ = (1 + i)^{1/ 2} - 1

Segundo, a través de la ecuación de la tasa nominal, hallaremos el interés nominal capitalizable semestralmente:

J_m = m x i_m

Sustituimos:

j₂ = 2 x i₂

Sustituimos los valores:

c) Capitalización de intereses trimestral (j₄)

En este caso tenemos:

i = 12%

m = 4 (ya que los intereses se devengan trimestralmente)

j₄ = ? (buscamos el tanto de interés nominal anual equivalente al tipo de interés efectivo trimestral)

Primero, a través de la expresión de los tantos efectivos equivalentes hallaremos el tanto efectivo trimestral, ya que el que tenemos es el tanto efectivo anual:

i_m = (1 + i)^{1/ m} - 1

Sustituimos los valores:

i₄ = (1 + i)^{1/ 4} - 1

Segundo, a través de la ecuación de la tasa nominal, hallaremos el interés nominal capitalizable trimestralmente:

J_m = m x i_m

Sustituimos:

j₄ = 4 x i₄

Sustituimos los valores:

d) Capitalización de intereses mensual (j₁₂)

En este caso tenemos:

i = 12%

m = 12 (ya que los intereses se devengan mensualmente)

j₁₂ = ? (buscamos el tanto de interés nominal anual equivalente al tipo de interés efectivo mensual)

Primero, a través de la expresión de los tantos efectivos equivalentes, hallaremos el tanto efectivo mensual, ya que el que tenemos es el tanto efectivo anual:

i_m = (1 + i)^{1/ m} - 1

Sustituimos los valores:

i₁₂ = (1 + i)^{1/ 12} - 1

Segundo, a través de la ecuación de la tasa nominal, hallaremos el interés nominal capitalizable mensualmente:

J_m = m x i_m

Sustituimos:

j₁₂ = 12 x i₁₂

Sustituimos los valores:

6.Matemáticas financieras aplicadas a contabilidad

Los criterios de valoración por los que se rige el Plan general de contabilidad de pymes son los siguientes:

1. Coste histórico o coste

2. Valor razonable

3. Valor neto realizable

4. Valor actual

5. Valor en uso

6. Costes de venta

7. Coste amortizado

8. Costes de transacción atribuibles a un activo o pasivo financiero

9. Valor contable o en libros

10. Valor residual

De estos 10 criterios, hay 3 en los que es necesario aplicar matemáticas financieras. Son los siguientes (se acompañan de la definición del PGC de pymes):

Valor actual: el valor actual es el importe de los flujos de efectivo a recibir o a pagar en el curso normal del negocio, según se trate de un activo o de un pasivo, respectivamente, actualizados a un tipo de descuento adecuado.
Valor en uso: el valor en uso de un activo es el valor actual de los flujos de efectivo futuros esperados, a través de su utilización en el curso normal del negocio y, en su caso, de su enajenación u otra forma de disposición, teniendo en cuenta su estado actual y actualizados a un tipo de interés de mercado sin riesgo, ajustado por los riesgos específicos del activo que no hayan ajustado las estimaciones de flujos de efectivo futuros.

Cuando la cuantificación o la distribución de los flujos de efectivo esté sometida a incertidumbre, las proyecciones de flujos de efectivo se basarán en hipótesis razonables y fundamentadas, debiéndose considerar ésta asignando probabilidades a las distintas estimaciones de flujos de efectivo. En cualquier caso, esas estimaciones deberán tener en cuenta cualquier otra asunción que los participantes en el mercado considerarán, tal como el grado de liquidez inherente al activo valorado.

Coste amortizado: el coste amortizado de un instrumento financiero es el importe al que inicialmente fue valorado un activo financiero o un pasivo financiero, menos los reembolsos de principal que se hubieran producido, más o menos, según proceda, la parte imputada en la cuenta de pérdidas y ganancias, mediante la utilización del método del tipo de interés efectivo, de la diferencia entre el importe inicial y el valor de reembolso en el vencimiento y, para el caso de los activos financieros, menos cualquier reducción de valor por deterioro que hubiera sido reconocida, ya sea directamente como una disminución del importe del activo o mediante una cuenta correctora de su valor.

El tipo de interés efectivo es el tipo de actualización que iguala el valor en libros de un instrumento financiero con los flujos de efectivo estimados a lo largo de la vida esperada del instrumento, a partir de sus condiciones contractuales y sin considerar las pérdidas por riesgo de crédito futuras.

A continuación a través de varios ejemplos, vamos a ver cómo se aplican las matemáticas financieras a estos 3 criterios de valoración.

6.1.Valor actual

Se utiliza para valorar activos y pasivos. El concepto de valor actual se identifica con el término financiero VAN (valor actual neto).

Para calcular el valor actual, tanto de un activo como de un pasivo, la fórmula financiera que vamos a utilizar va a ser la fórmula del cálculo del capital inicial en régimen de interés compuesto.

El valor actual se identifica con el valor del capital inicial.

Fórmula a utilizar:

6.1.1.Ejemplos de valor actual de un pasivo

Ejemplo 1

La sociedad "A" tendrá que devolver un préstamo a la entidad financiera "Z" dentro de 4 años, por un importe de 12.624,7696 euros. Calcular el valor actual de este pasivo si se aplica un tipo de descuento del 6%.

C = VA = ?

C' = 12.624,7696

t = 4 años

i = 6%

Ejemplo 2

La empresa tiene una deuda derivada de la compra de una máquina, por la que se ha comprometido a realizar los siguientes pagos:

12.000 euros, dentro de un año

14.000 euros, dentro de dos años

16.000 euros, dentro de tres años

Calcular el valor actual de esta deuda si el tipo de interés que se considera adecuado es del 5%.

C = VA = ?

C'₁ = 12.000

C'₂ = 14.000

C'₃ = 16.000

t₁ = 1 año

t₂ = 2 años

t₃ = 3 años

i = 5%

En este ejemplo vemos que el valor actual de la deuda constará de la suma de los tres pagos, actualizados cada uno de ellos por un período de tiempo diferente.

VA = C₁ + C₂ + C₃

Para calcular el valor actual de la deuda, utilizaremos la fórmula del cálculo del capital inicial en régimen de interés compuesto igual que en el caso anterior. Pero aquí vemos que la deuda no consta de un solo pago, sino que consta de varios, por lo tanto, vamos a calcular el valor actual de dos formas para ver que el resultado es el mismo.

1.ª forma. Actualizamos cada pago por separado y luego los sumamos.

Actualización primer pago C'₁ = 12.000

C₁ = ?

C'₁ = 12.000

t₁ = 1 año

i = 5%

Actualización segundo pago C'₂ = 14.000

C₂ = ?

C'₂ = 14.000

t₂ = 2 años

i = 5%

Actualización tercer pago C'₃ = 16.000

C₃ = ?

C'₃ = 16.000

t₃ = 3 años

i = 5%

Por lo que el valor actual total de la deuda es:

VA = C₁ + C₂ + C₃ = 11.428,57 + 12.698,41 + 13.821,40 = 37.948,38 euros.

2.ª forma. Actualizamos todos los pagos a la vez.

Visto que los resultados son idénticos, a partir de ahora utilizaremos la 2.ª forma para proceder a calcular los valores actuales de activos o pasivos que consten de varios cobros o pagos, ya que es más rápida de calcular

Ejemplos de valor actual de un activo

Ejemplo 3

La empresa "R" ha vendido una máquina a crédito a la sociedad "S", por la que va a cobrar los siguientes importes:

6.000 euros, dentro de un año

8.000 euros, dentro de dos años

10.000 euros, dentro de tres años

Calcular el valor actual de este activo si el tipo de interés que se considera adecuado es del 8%.

VA = ?

C'₁ = 6.000

C'₂ = 8.000

C'₃ = 10.000

t₁ = 1 año

t₂ = 2 años

t₃ = 3 años

i = 8%

En este ejemplo vemos que el valor actual del crédito constará de la suma de los tres cobros, actualizados cada uno de ellos por un período de tiempo diferente.

6.2.Valor en uso

El concepto de valor en uso también se identifica con el término financiero VAN (valor actual neto), pero se diferencia del concepto de valor actual, por el hecho de que el valor en uso se refiere siempre a un activo.

Este criterio de valoración equipara el valor del bien al valor de los rendimientos previsibles que van a poder obtenerse de la utilización de ese bien, pero valorando dichos rendimientos por su valor actual.

Se trata de actualizar flujos de efectivo futuros y, por lo tanto, sometidos a incertidumbre. De ahí que el marco conceptual establezca la utilización de un tipo de interés de mercado sin riesgos para evitar precisamente esas incertidumbres.

En el cálculo del valor en uso caben básicamente dos alternativas:

Utilizar una tasa de descuento ajustada al riesgo, con lo que el valor en uso será menor.
Estimar una probabilidad de ocurrencia a cada flujo de efectivo (utilizando un tipo de interés no ajustado por el riesgo).

Para el cálculo del valor en uso vamos a utilizar la misma fórmula que hemos utilizado para calcular el valor actual.

Fórmula a utilizar:

6.2.1.Ejemplos de valor en uso de un activo

Una empresa tiene una máquina a la que se le estima una vida útil de cinco años, estimándose como flujos de efectivo a obtener durante esos años los siguientes:

Años	Flujos de efectivo
1	4.000
2	8.000
3	13.000
4	18.000
5	22.000

El tipo de interés de mercado no ajustado al riesgo es del 6% y la prima de riesgo se ha estimado en un 2%.

Se han estimado las probabilidades de ocurrencia de cada flujo de efectivo, que son las siguientes:

Año 1, un 98%

Año 2, un 88%

Año 3, un 74%

Año 4, un 65%

Año 5, un 50%

Calcular el valor en uso de la máquina, según las dos alternativas posibles.

Alternativa a) Valor en uso utilizando tasa de descuento ajustada al riesgo.

El valor en uso del activo será el valor actual de todos los flujos estimados al tipo de descuento establecido del 8%, que corresponde al tipo sin riesgo incrementado en la prima de riesgo.

Alternativa b) Valor en uso según probabilidades de ocurrencia a cada flujo de efectivo.

El valor en uso, teniendo en cuenta las probabilidades de ocurrencia de cada flujo, sería (en este caso el tipo de descuento es del 6%, ya que no se tiene en cuenta la prima de riesgo):

6.3.Coste amortizado

La definición transcrita anteriormente, según el Plan general de contabilidad de pymes sobre este criterio de valoración, puede resultar bastante farragosa.

Para entenderlo mejor, podemos decir que este criterio de valoración se basa en calcular el valor actual de los flujos pendientes de cobro o pago según se trate de un activo o pasivo, actualizando los mismos con el tipo de interés efectivo de la operación.

Este criterio de valoración se aplica sólo a instrumentos financieros:

Activos financieros: derechos de cobro con clientes, inversiones en acciones, en deuda, etc.
Pasivos financieros: obligaciones con proveedores, deudas por préstamos, deuda emitida, etc.

Para poder aplicar este criterio de valoración, primero tendremos que calcular el tipo de interés efectivo.

La definición que nos da el PGC es la siguiente: El tipo de interés efectivo es el tipo de actualización que iguala el valor en libros de un instrumento financiero con los flujos de efectivo estimados a lo largo de la vida esperada del instrumento, a partir de condiciones contractuales y sin considerar las pérdidas de riesgo de crédito futuras.

A través de varios ejemplos vamos a utilizar este criterio de valoración (coste amortizado), y así entenderemos la aplicación de dicho criterio.

6.3.1.Ejemplos de valor amortizado de un pasivo financiero

Ejemplo 1

Nos conceden un préstamo de 300.000 euros el día 1 de enero del 20X01. En contrapartida y durante los tres próximos años, cada 31 de diciembre haremos efectivo el pago de tres cuotas de 100.000 euros. Cuando se lleve a cabo cada una de las tres devoluciones, pagaremos también intereses del 6% anual sobre la deuda. En la fecha de la concesión desembolsamos 1.000 euros por gastos de formalización del préstamo.

Calcular el coste amortizado del préstamo a 31/12/20X01, a 31/12/20X02 y 31/12/20X03.

En primer lugar hemos de conocer el tipo de interés efectivo de esta operación, para ello, calcularemos los flujos de entrada de efectivo que se generan y los flujos de salida de efectivo que se generan.

El día 01/01/20X01 se genera un flujo de entrada de efectivo de 300.000 euros (préstamo que nos han concedido) al que le tenemos que restar 1.000 euros (gastos de formalización del préstamo) lo que supone un flujo de salida de efectivo.

Flujo neto de entrada = 300.000 – 1.000 = 299.000 euros.

El día 31/12/20X01 se genera por un lado un flujo neto de salida de 100.000 euros, correspondientes al pago de la primera cuota del préstamo, más otro flujo de salida de efectivo de 18.000 euros, correspondientes a los intereses (intereses del 6% sobre el total de la deuda de 300.000 euros).

Flujo neto de salida = 100.000 + 18.000 = 118.000 euros.

El día 31/12/20X02 se genera por un lado un flujo neto de salida de 100.000 euros, correspondientes al pago de la segunda cuota del préstamo, más otro flujo de salida de efectivo de 12.000 euros, correspondientes a los intereses (intereses del 6% sobre el total de la deuda de 200.000 euros).

Flujo neto de salida = 100.000 + 12.000 = 112.000 euros.

El día 31/12/20X03 se genera, por un lado, un flujo neto de salida de 100.000 euros, correspondientes al pago de la tercera y última cuota del préstamo, más otro flujo de salida de efectivo de 6.000 euros, correspondientes a los intereses (intereses del 6% sobre el total de la deuda de 100.000 euros).

Flujo neto de salida = 100.000 + 6.000 = 106.000 euros.

Vamos a expresar gráficamente estos flujos de entrada y salida de efectivo:

Según la definición hallaremos el tipo de interés efectivo igualando los distintos cobros y pagos realizados por la empresa en el momento actual. Es decir, igualamos:

lo que recibe = lo que da.

Utilizando la misma fórmula que hemos utilizado para los criterios de valoración del valor actual y del valor en uso, obtendremos el tipo de interés efectivo.

En este caso los datos que tenemos son:

C = 299.000 capital inicial = flujo de entrada de efectivo

C'₁ = 118.000

C'₂ = 112.000

C'₃ = 106.000

t₁ = 1 año

t₂ = 2 años

t₃ = 3 años

i = ? (tipo de interés efectivo)

Numéricamente:

Calculamos i por tanteo (ver páginas siguientes):

i = 6,184013813%.

Podemos observar que el tipo de interés efectivo es superior en un 0,184013813% (6,184013813% - 6%) al interés al que se contrató la operación. Esto se debe a que el coste de la operación incluye, además de los intereses, otros gastos, como en este caso son los gastos de formalización del préstamo.

En términos más coloquiales, podemos decir que estamos pagando más a causa de los gastos de formalización porque, en realidad, no hemos recibido 300.000 euros, sino que hemos recibido 299.000 euros, pero los intereses se calculan sobre 300.000 euros y no sobre los 299.000 euros que realmente recibimos.

En el caso de que no hubiesen existido gastos de formalización, veríamos que el tipo de interés efectivo y el tipo de interés al que se pactó el préstamo coincidirían. Veámoslo:

En este caso los datos que tenemos son:

C = 300.000 capital inicial = flujo de entrada de efectivo

C'₁ = 118.000

C'₂ = 112.000

C'₃ = 106.000

t₁ = 1 año

t₂ = 2 años

t₃ = 3 años

i = ? (tipo de interés efectivo)

Numéricamente:

Existen varios métodos para calcular el tipo de interés efectivo una vez planteada la igualdad, ya que manualmente supone un engorro:

1.º) Forma de calcular el tipo de interés efectivo. Método "prueba y error".

A través de una hoja de cálculo:

1) Preparad unas celdas para cada uno de los datos de la operación, como las que se muestran en el ejemplo:

2) Introducid los datos de la operación en la celda correspondiente.

3) Introducid la fórmula del valor actual en la celda que corresponde.

4) Se realizará el cálculo automático.

5) Para el valor actual 2, introducid la fórmula en la celda correspondiente.

6) Se realizará el cálculo automático.

Entonces, el tipo medio sería:

Elaboraremos las fórmulas necesarias para, de una manera ágil, conseguir distintas valoraciones que se aproximen a aquella que deseamos alcanzar (en nuestro caso 299.000).

Así, mediante el método de "prueba y error", iremos dando valores a la tasa con el fin de obtener un resultado mayor y menor de 299.000. Es decir:

Para una i = 6%, y sustituyendo en la expresión anterior, obtenemos un resultado de 300.000.
Para una i = 7% obtenemos un resultado de 294.633,09.

De tal forma que el dato buscado se encuentra entre estos dos valores. Por lo que, realizando una interpolación lineal, conseguiríamos la tasa de una forma bastante aproximada:

Comprobación:

2.º) Forma de calcular el tipo de interés efectivo. Cálculo TIR, en un Excel.

Para resolver esta fórmula en una aplicación como Excel, encontramos una función que nos puede ayudar a resolver de forma rápida la incógnita planteada:

= TIR (valores; estimar).

En donde "valores" es una matriz o referencia de celdas que contengan los números para los cuales se desea calcular la tasa de retorno, y "estimar" es un número que estimamos que se aproximará al resultado del TIR.

En el ejemplo anterior, introduciríamos los datos en las celdas:

Y elaboraríamos la siguiente función:

= TIR (B2:B5).

Comprobamos que en la construcción de la fórmula hemos incluido la referencia a las celdas donde se encuentran los flujos: desde B2 hasta el B5, introduciendo el dato que corresponde al préstamo recibido con signo menos.

El resultado obtenido:

6,184013813%.

Resulta ser más exacto que el método anterior, ya que en aquel era una aproximación.

Por esto, a partir de ahora, cuando tengamos que hallar un tipo de interés efectivo lo calcularemos a través de la 2.ª forma planteada, es decir, a través de la TIR en un Excel.

También cabe decir que, normalmente, la tasa de interés efectivo no hay que calcularla, ya que el enunciado nos la indicará.

Una vez hemos obtenido el tipo de interés efectivo, procederemos a calcular el coste amortizado del pasivo:

Siendo:

31/12/20X01:

(1): Importe al que se valora el pasivo a 1/1/20X01 = 299.000 euros.

(2): Devolución del primer plazo del préstamo concedido (100.000 €). Queda pendiente de pago 200.000 euros.

(3): Cantidad de gastos de la operación, diferentes al interés nominal, que se imputan al resultado en ese período y que incrementan el valor de la deuda. Se calculan como la diferencia entre el importe de interés efectivo del período y el importe del interés nominal del período.

Importe del interés efectivo del período, del 01/01/20X01 al 31/12/20X01 = tipo de interés efectivo X el valor del pasivo a 01/01/20X1= 6,184013813% X 299.000 = 18.490,20 euros.
Importe del interés nominal del período, del 01/01/20X01 al 31/12/20X01 = tipo de interés nominal X deuda viva durante el período 01/01/20X01 a 31/12/20X01 = 6,00% X 300.000 = 18.000,00 euros.
El importe de 490,20 euros se obtiene por diferencia del importe de los tipos de intereses = 18.490,20 – 18.000,00 euros.

(4) Coste amortizado a 31/12/20X01 = 299.000 – 100.000 + 490,20 = 199.490,20.

31/12/20X02:

(4): Importe al que se valora el pasivo a 1/1/20X02, que corresponde al valor a 31/12/20X01 = 199.490,20 euros.

(5): Devolución del segundo plazo del préstamo concedido (100.000 €). Queda pendiente de pago 100.000 euros.

(6): Cantidad de gastos de la operación, diferentes al interés nominal, que se imputan al resultado en ese período y que incrementan el valor de la deuda. Se calculan como la diferencia entre el importe de interés efectivo del período y el importe del interés nominal del período.

Importe del interés efectivo del período, del 01/01/20X02 al 31/12/20X02 = tipo de interés efectivo X el valor del pasivo a 01/01/20X2 = 6,184013813% X 199.490,20 = 12.336,50 euros.
Importe del interés nominal del período, del 01/01/20X02 al 31/12/20X02 = tipo de interés nominal X deuda viva durante el período 01/01/20X2 a 31/12/20X02 = 6,00% X 200.000 = 12.000,00 euros.
El importe de 336,50 euros se obtiene por diferencia del importe de los tipos de intereses = 12.336,50 – 12.000,00 euros.

(7) Coste amortizado a 31/12/20X02 = 199.490,20 – 100.000 + 336,50 = 99.826,70.

31/12/20X03:

(7): Importe al que se valora el pasivo a 1/1/20X03, que corresponde al valor a 31/12/20X02 = 99.826,70 euros.

(8): Devolución del tercer plazo del préstamo concedido (100.000 €). Queda pendiente de pago 0 euros.

(9): Cantidad de gastos de la operación, diferentes al interés nominal, que se imputan al resultado en ese período y que incrementan el valor de la deuda. Se calculan como la diferencia entre el importe de interés efectivo del período y el importe del interés nominal del período.

Importe del interés efectivo del período, del 01/01/20X03 al 31/12/20X03 = tipo de interés efectivo X el valor del pasivo a 01/01/20X3 = 6,184013813% X 99.826,70 = 6.173,30 euros.
Importe del interés nominal del período, del 01/01/20X03 al 31/12/20X03 = tipo de interés nominal X deuda viva durante el período 01/01/20X3 a 31/12/20X03 = 6,00% X 100.000 = 6.000,00 euros.
El importe de 173,30 euros se obtiene por diferencia del importe de los tipos de intereses = 6.173,30 – 6.000,00 euros.

(10) Coste amortizado a 31/12/20X03 = 99.826,70 – 100.000 + 173,30 = 0.

Ejemplo 2

El día 1 de enero del 20X01 hemos emitido 1.000 bonos a 2 euros por bono, con vencimiento el 31/12/20X02 y con un interés del 5% a pagar anualmente. El valor de reembolso al vencimiento es de 2.000 euros. Los gastos de intermediación ascienden a 50 euros.

Calcular el coste amortizado a 31/12/20X01, y a 31/12/20X02.

El día 01/01/20X01 se genera un flujo de entrada de efectivo de 2.000 euros (deuda que hemos emitido 1.000 bonos x 2 €/bono) al que le tenemos que restar 50 euros (gastos de intermediación) lo que supone un flujo de salida de efectivo.

Flujo neto de entrada = 2.000 – 50 = 1.950 euros.

El día 31/12/20X01 se genera un flujo neto de salida de 100 euros correspondientes al pago de los intereses (intereses del 5% sobre el total de la deuda de 2.000 euros).

Flujo neto de salida = 100 euros.

El día 31/12/20X02 se genera por un lado un flujo neto de salida de 2.000 euros correspondientes al pago de los bonos emitidos, ya que ha llegado el vencimiento, más otro flujo de salida de efectivo de 100 euros correspondientes a los intereses (intereses del 5% sobre el total de la deuda de 2.000 euros).

Flujo neto de salida = 2.000 + 100 = 2.100 euros.

Vamos a expresar gráficamente estos flujos de entrada y salida de efectivo:

Según la definición, hallaremos el tipo de interés efectivo igualando los distintos cobros y pagos realizados por la empresa en el momento actual. Es decir, igualamos:

lo que recibe = lo que da.

Calculamos el tipo de interés efectivo a través del cálculo TIR, en un Excel.

Introducimos los datos en las celdas:

Y elaboraríamos la siguiente función:

= TIR (B2:B4).

El resultado obtenido:

6,370679385%.

Una vez hemos obtenido el tipo de interés efectivo, procederemos a calcular el coste amortizado del pasivo:

Siendo:

31/12/20X01:

(1): Importe al que se valora el pasivo a 1/1/20X01 = 1.950 euros.

(2): Devolución del capital recibido (0 €). Queda pendiente de pago 2.000 euros.

Importe del interés efectivo del período, del 01/01/20X01 al 31/12/20X01 = tipo de interés efectivo X el valor del pasivo a 01/01/20X1 = 6,370679385% X 1.950 = 124,30 euros.
Importe del interés nominal del período, del 01/01/20X01 al 31/12/20X01 = tipo de interés nominal X deuda viva durante el período 01/01/20X1 a 31/12/20X01 = 5,00% X 2.000 = 100,00 euros.
El importe de 24,30 euros se obtiene por diferencia del importe de los tipos de intereses = 124,30 – 100,00.

(4) Coste amortizado a 31/12/20X01 = 1.950 – 0 + 24,30 = 1.974,23.

31/12/20X02:

(4): Importe al que se valora el pasivo a 1/1/20X02, que corresponde al valor a 31/12/20X01 = 1.974,23 euros.

(5): Devolución del capital concedido (2.000 €). Queda pendiente de pago 0 euros.

Importe del interés efectivo del período, del 01/01/20X02 al 31/12/20X02 = tipo de interés efectivo X el valor del pasivo a 01/01/20X2 = 6,370679385% X 1.974.23 = 125,77 euros.
Importe del interés nominal del período, del 01/01/20X02 al 31/12/20X02 = tipo de interés nominal X deuda viva durante el período 01/01/20X2 a 31/12/20X02 = 5,00% X 2.000 = 100,00 euros.
El importe de 25,77 euros se obtiene por diferencia del importe de los tipos de intereses = 125,77 – 100,00 euros.

(7) Coste amortizado a 31/12/20X02 = 1.974,23 – 2.000 + 25,77 = 0 euros.

6.3.2.Ejemplo de valor amortizado de un activo financiero

Ejemplo 3

Concedemos un préstamo por importe de 6.000 euros el día 1 de enero del 20X01. El prestatario nos lo devolverá en dos años (cada 31 de diciembre), cada año nos devolverá la mitad del principal (3.000 euros) más los intereses de la operación, que ascienden al 7%. Por conceder dicho préstamo hemos tenido que soportar unos gastos de formalización de 100 euros.

Calcular el coste amortizado a 31/12/20X01 y a 31/12/20X02.

En primer lugar hemos de conocer el tipo de interés efectivo de esta operación, para ello calcularemos los flujos de entrada de efectivo que se generan y los flujos de salida de efectivo que se generan.

El día 01/01/20X01 se genera un flujo de salida de efectivo de 6.000 euros (préstamo concedido) más un flujo de salida de efectivo de 100 euros (gastos de formalización).

Flujo neto de salida = 6.000 + 100 = 6.100 euros.

El día 31/12/20X01 se genera un flujo de entrada de efectivo de 3.000 euros correspondientes a la devolución de la mitad del préstamo concedido, más un flujo de entrada de efectivo de 420 euros correspondiente al cobro de los intereses (intereses del 7% sobre el total del préstamo concedido de 6.000 euros).

Flujo neto de entrada = 3.000 + 420 = 3.420 euros.

El día 31/12/20X01 se genera un flujo de entrada de efectivo de 3.000 euros correspondientes a la devolución de la segunda mitad del préstamo concedido, más un flujo de entrada de efectivo de 210 euros correspondiente al cobro de los intereses (intereses del 7% sobre el capital pendiente del préstamo concedido de 3.000 euros).

Flujo neto de entrada = 3.000 + 210 = 3.210 euros.

Vamos a expresar gráficamente estos flujos de entrada y salida de efectivo:

Según la definición hallaremos el tipo de interés efectivo igualando los distintos cobros y pagos realizados por la empresa en el momento actual. Es decir, igualamos:

lo que da = lo que recibe.

Calculamos el tipo de interés efectivo a través del cálculo TIR, en un Excel.

Introducimos los datos en las celdas:

Y elaboraríamos la siguiente función:

= TIR (B2:B4).

En este caso introducimos los datos que corresponden al cobro del préstamo con signo menos.

El resultado obtenido:

5,802525361%.

Una vez hemos obtenido el tipo de interés efectivo, procederemos a calcular el coste amortizado del pasivo:

Siendo:

31/12/20X01:

(1): Importe al que se valora el activo a 1/1/20X01 = 6.100 euros.

(2): Devolución de la mitad del capital concedido (3.000 €). Queda pendiente de cobro 3.000 euros.

Importe del interés efectivo del período, del 01/01/20X01 al 31/12/20X01 = tipo de interés efectivo X el valor del activo a 01/01/20X1 = 5,802525361% X 6.100 = 353,95 euros.
Importe del interés nominal del período, del 01/01/20X01 al 31/12/20X01 = tipo de interés nominal X deuda viva durante el período 01/01/20X1 a 31/12/20X01 = 7,00% X 6.000 = 420,00 euros.
El importe de -66,05 euros se obtiene por diferencia del importe de los tipos de intereses = 353,95 – 420,00 euros.

Coste amortizado a 31/12/20X01 = 6.100 – 3.000 – 66,05 = 3.033,95.

31/12/20X02:

(1): Importe al que se valora el activo a 1/1/20X02, que corresponde al valor a 31/12/20X01 = 3.033,95 euros.

(2): Cobro la segunda mitad del préstamo concedido (3.000 €). Queda pendiente de cobro 0 euros.

Importe del interés efectivo del período, del 01/01/20X02 al 31/12/20X02 = tipo de interés efectivo X el valor del pasivo a 01/01/20X2 = 5,802525361% X 3.033,95 = 176,05 euros.
Importe del interés nominal del período, del 01/01/20X02 al 31/12/20X02 = tipo de interés nominal X deuda viva durante el período 01/01/20X2 a 31/12/20X02 = 7,00% X 3.000 = 210,00 euros.
El importe de -33,95 euros se obtiene por diferencia del importe de los tipos de intereses = 176,05 – 210,00 euros.

Coste amortizado a 31/12/20X02 = 3.033,95 – 3.000 – 33,95 = 0 euros.

7.Matemática financiera aplicada a la inversión. Fundamentos básicos de valoración de un proyecto de inversión

El complejo entramado económico actual requiere de profesionales bien formados, muy especialmente en el ámbito de las pymes.

Por sus características, este apartado desea brindar el conocimiento básico y la capacidad de acción necesaria para desenvolverse adecuadamente ante un proyecto de inversión, donde una decisión acertada puede conllevar al máximo rendimiento de sus beneficios, o al menos, a no incurrir en pérdidas cuantiosas que podrían evitarse.

Para comenzar hay que saber que la inversión es el sacrificio (inmovilización) de unos recursos financieros con la finalidad de obtener unos beneficios en el futuro. Más específicamente, vincularemos la inversión a la inmovilización de recursos líquidos en el presente para obtener un mayor flujo de recursos líquidos en el futuro.

Elementos del proceso de inversión

Los proyectos de inversión se clasifican en función del tipo de flujo de fondos líquidos. Por lo tanto, los proyectos de inversión pueden ser:

a) Proyectos simples. Formados por un único pago y un único cobro.

Veámoslo gráficamente:

b) Proyectos agregados. Formados por uno o más pagos y uno o más cobros.

Veámoslo gráficamente:

Existen diversos criterios (métodos) para la selección de proyectos de inversión. Sin embargo, nosotros estudiaremos solamente uno, el valor actual neto (VAN), debido a que de todos los métodos existentes, éste es el más importante y utilizado para valorar una inversión. Su importancia se basa fundamentalmente en que el resultado que se obtiene con él presenta un menor margen de error.

El VAN lo hemos estudiado anteriormente dentro de las aplicaciones de la matemática financiera a la contabilidad, sin embargo, ahora lo estudiaremos aplicado a las inversiones.

En el valor actual neto, el conjunto de los cash flow se actualiza financieramente al instante cero del tiempo (el momento actual); en este punto se efectúa la valoración del proyecto.

Veámoslo gráficamente:

Pn = Pagos esperados en el año n.

Cn = Cobros esperados en el año n.

P0 = Desembolso inicial.

La fórmula matemática del VAN es la siguiente:

En donde:

r = Tasa de actualización de los flujos de tesorería.

Una vez calculado el VAN, se toma la decisión en base a las siguientes opciones:

Por otra parte, el criterio de clasificación de inversiones que hay que seguir entre varios proyectos de inversión es el siguiente:

En primer lugar, elegiremos aquellas inversiones que presenten un VAN positivo; dentro de los proyectos con VAN positivo, elegiremos el que presente el mayor VAN.

Asimismo, es importante que tengamos en cuenta que la tasa de actualización r es un elemento fundamental en el cálculo del VAN. De su correcta elección dependerá que el resultado final tenga un significado financiero ajustado a la realidad.

Existen varias opciones y son diferentes en función de cada autor de prestigio que ha investigado el tema. Las utilizadas con mayor frecuencia son las siguientes:

El interés del mercado financiero a largo plazo.
La tasa de rentabilidad de la empresa.
La tasa de rentabilidad del sector empresarial en concreto.
El coste de capital de la empresa.
La tasa mínima fijada por el propio inversor.
El coste de oportunidad del dinero.

El uso de un criterio u otro queda a vuestra elección, aunque os recomendamos fijar la tasa de actualización sobre la base de dos premisas:

Realismo.
Prudencia.

Ejemplo 1

Supongamos que tenéis que elegir entre los proyectos de inversión que se presentan a continuación:

Tasa de actualización 8%.

Cifra en millones de euros.

Dada la información anterior, tenemos que:

Por lo tanto:

Proyecto A1

Proyecto A2

Proyecto A3

Ya calculado y obtenido el VAN correspondiente para cada proyecto, debemos elegir el que nos resulte más conveniente.

Si recordamos que:

Entonces, en base a dichos criterios, y sabiendo que nos conviene el que haya obtenido el VAN más alto, seleccionaremos el proyecto A3.

Ejemplo 2

Supongamos que tenéis que elegir entre los proyectos de inversión que se presentan a continuación:

Tasa de actualización 6%.

Cifra en millones de euros.

Dada la información anterior, tenemos que:

Por lo tanto:

Proyecto X

Proyecto Y

Proyecto Z

Ya calculado y obtenido el VAN correspondiente para cada proyecto, debemos elegir el que nos resulte más conveniente.

Sabiendo que dentro de los proyectos con VAN positivo, elegiremos el que presente el mayor VAN, entonces, el proyecto seleccionado con este criterio será Y.

Si quisiéramos realizar el cálculo anterior con ayuda del Excel, una buena forma de hacerlo (y que puede servirnos para el futuro) es la siguiente:

Para la siguiente explicación se utilizarán los datos del proyecto Z del ejemplo 2.

1) Determinamos en una hoja de Excel la tasa de actualización:

2) Determinamos en la misma hoja de Excel el tiempo del proyecto de inversión.

3) Determinamos la inversión inicial y los flujos para cada año:

4) Vincularemos la fórmula del VAN a cada celda/valor

Por ejemplo:

Importante: Si fijamos correctamente los criterios, el formato que acabamos de crear podría extenderse infinitamente.

De esta manera, sólo tendríamos que modificar los flujos y la tasa de actualización y obtendríamos el VAN para cualquier proyecto de inversión.